문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 라플라스 변환 (문단 편집) == 원리 == 간단하게 설명하자면 [[미분방정식]]을 다른 '공간'으로 변환시켜 더 단순하게 만든 후, 이를 풀어내는 기법. 즉 A공간에서는 매우 풀기 어려운 식을 B공간에서는 단순한 사칙연산으로만 구할 수 있다. 이때 A->B로 식을 가져간 뒤 풀고 다시 내가 있는 A공간으로 오기 위해 B->A공간으로 가져온다 이때 이용하는 통로를 라플라스 변환이라고 한다. 미분방정식의 eigenvalue(고유값)만 따서 계산하는 기법이라고 할 수 있다.[* [[선형대수학]]에서의 선형 변환(linear transformation), 맵핑과 똑같다! 실제로 라플라스 변환을 공부할 때 라플라스 변환은 선형 연산(linear operation) 가능하다고 나올 것이다.] 선형 미분방정식에서는 가히 [[로피탈의 정리]]급 위력을 발휘하는 사기기술로, 어지간히 손대기도 힘든 2계 미분방정식[* second order differential equation. ]도 이녀석을 동원하고 적당히 라플라스 역변환을 시켜주면 근을 구해낼 수 있다. 다만 역변환[* 푸리에-멜린 적분 변환이라고도 한다. ]은 따로 공식이 있긴 하지만 [[복소해석학]]을 배워야 해서 어렵기 때문에 대신 [[부분분수분해]]를 통해 함수를 간단히 만든 후 라플라스 변환 표를 보고 적당히 역변환을 추리하는 것이 일반적이다.[* 실용적인 목적에도 이쪽이 더 낫다. 라플라스 역변환은 이론적인 토대를 제공할 뿐이지, 실제로 계산하기에는 애로사항이 많다.] 또한 선형 편미분방정식도 경계가 반무한(semi-infinite) 또는 양쪽 다 무한(infinite)이라면 풀 수 있다. 원래 라플라스 변환은 자연계의 운동들, 예를 들면 포락선(envelope) 같은 감쇠 현상을 설명하기 위해 고안된 개념이다. 위 공식에서 [[복소수]] [math(s = \sigma+i\omega)]라는 걸 생각해보자. 여기에서 [math(\sigma)]과 [math(\omega)]는 [[실수]]이며 [math(i)]는 [[허수]]단위다. [math(s)]는 상수 [[자연로그의 밑|[math(e)]]] 를 밑으로 한 지수인데, [[지수(수학)|지수 법칙]]을 이용해 이를 실수부와 허수부로 분리할 수 있다. 실수부는 감쇠를, 허수부는 [[오일러 공식]]에 의해 정현파(사인함수와 코사인함수) 형태로 표현된다. 이 둘을 곱하면 감쇄하는 진동운동이 표현된다.[* 실수부를 [math(0)]으로 만들면 [[푸리에 변환]]이 되는데, 이는 감쇄하지 않는 진동운동을 의미한다.] 실수부 값에 따라 주어진 적분이 수렴하여 라플라스 변환이 존재할 수도 있고, 적분이 발산하여 라플라스 변환이 존재하지 않을 수도 있다. 이를 규정하는 기준을 수렴구간(ROC: Region Of Convergence)이라고 한다. 라플라스 변환으로 미분방정식을 푸는 과정을 개략적으로 설명하면 1. t-공간에서의 복잡한 미분방정식 1. 1.의 방정식을 적절하게 라플라스 변환 1. s-공간에서의 본래 식보다는 간단한[* 진짜로 간단해진다. 본래 식이 간단하면 라플라스 쓰지 말고 그냥 푸는 게 빠르다.] 대수방정식 혹은 미분방정식(1의 미분방정식보다는 간단하다.) 1. 3.의 해를 다시 적절하게 라플라스 '''역'''변환 1. t-공간에서의 미분방정식의 해 즉 t-공간에서의 결과물을 얻기 위해, 가상의 s-공간에서 무언가를 수행하는 방법이라 하겠다. 더 쉽게 말하면, 복잡한 녀석을 이해하기 일단 이해하기 쉬운 녀석으로 바꿔서 처리한 뒤, 그것을 다시 되돌려서 원래 의미를 알아내는 방법이라고 생각하면 된다. 하지만 이렇게 해서 풀 수 있는 것은 어디까지나 선형 미분방정식에 국한된다.[* 라플라스 변환은 선형 연산자(linear operator)이다. 따라서 선형 연산이 성립하지 않는 비선형 미분방정식에 대해서는 적용할 수 없다.] 비선형 방정식은 특별한 경우[* 풀이가 존재하는 [[베르누이 미분방정식]]같은 경우]가 아닌 이상 [[수치해석]]을 믿을 수밖에 없다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기